( En traitement d'images, on effectue des transformations de Fourier à deux dimensions : si f est une fonction de ℝ2 dans ℝ, sa transformée de Fourier est définie par : Les tableaux suivants présentent les transformations de Fourier de certaines fonctions. /CropBox [0.0 0.0 595.913 842.74] Tables des transformées de Fourier Simon Chabot Aucune garantie d'exactitude =) onctionsF ransforméeT de ourierF f(x) f^( ) = R e 2iˇ xf(x)dx ... ab.T 3 ableT de transformées de ourierF des distributions usuelles Où on a : ( x) = (1 Si jxj<1 2 0 Sinon H(x) … ′ ) /Kids [3 0 R 7 0 R 8 0 R 9 0 R 10 0 R 11 0 R 12 0 R 13 0 R 14 0 R 15 0 R F e /CropBox [0.0 0.0 595.913 842.74] π endobj Comme la transformation de Fourier[Laquelle ?] La transformation de Fourier du produit de deux cosinus est donc deux distributions de Dirac situées aux fréquences \(\nu_1+\nu_2\) et \(\nu_1-\nu2\) (et de même dans les fréquences négatives). | Par continuité de la transformation de Fourier et formule de la transformée du Dirac << /Contents 248 0 R /Im0 270 0 R C − 25 0 obj endobj endobj ) ( endobj , ( ) δ /CropBox [0.0 0.0 595.28 841.89] /Parent 2 0 R >> /Type /Page /Rotate 0 Soit (x) = Zx 1 e i2ˇu u dx; x 2: a. Montrer que la fonction est continue sur et qu’elle poss ede une limite nie a l’in ni. /Resources 237 0 R /Parent 2 0 R endobj e a /Rotate 0 /MediaBox [0.0 0.0 595.913 842.74] ( To compute the Fourier transform of an expression, use the inttrans[fourier] command. /Contents 122 0 R F { La transform´ee de Fourier La transform´ee de Fourier Discr`ete Introduction S´erie de Fourier Transform´ee de Fourier Quelques propri´et´es de la transform´ee de Fourier Quelques mots sur Jean-Baptiste Fourier Les transparents de pr´esentation des applications de TF sont ceux de Jo¨el Le Roux et extraits de son site web. /Parent 2 0 R Z << >> f S f a a {\displaystyle (f,e_{2\pi \xi })_{L^{2}}} k f 14 0 obj {\displaystyle a:=(a_{n})_{n\in \mathbb {Z} }} /Filter /FlateDecode /MediaBox [0.0 0.0 595.913 842.74] ( Transform ee de Fourier rapide et algorithmes de tri possible de relier la transform ee de Fourier discr ete a la transform ee de Fourier de d epart par la relation 16 0 R 17 0 R 18 0 R 19 0 R 20 0 R 21 0 R 22 0 R 23 0 R 24 0 R 25 0 R R k /Type /Page >> /Annots [41 0 R 42 0 R] /Parent 2 0 R /Rotate 0 a {\displaystyle {\mathcal {F}}(\delta _{k})=e_{-2\pi k}} /Contents 198 0 R ↦ ω ( /Dests 43 0 R e x ⟩ 36 0 obj ) , ) 72 0 R 73 0 R 74 0 R 75 0 R 76 0 R 77 0 R 78 0 R 79 0 R 80 0 R 81 0 R] 34 0 obj /MediaBox [0.0 0.0 595.913 842.74] n 15 0 obj π L'égalité n'est atteinte que pour /Resources 249 0 R ξ n /CropBox [0.0 0.0 595.913 842.74] /Resources 199 0 R n /Contents 234 0 R /Pages 2 0 R 2 /Parent 2 0 R Ces fonctions sont à la fois temporellement et fréquentiellement à décroissance exponentielle. n π n t /MediaBox [0.0 0.0 595.913 842.74] endobj /CreationDate (D:20201103171648-00'00') 21 0 obj 3 0 obj ⋅ = ) 2 Bonjour Je travaille avec des collègues physiciens sur des fonctions de $\R^3$ dans $\R$ et nous sommes amenés à en calculer des transformées de Fourier... et vu la définition de celles-ci on ne peut se passer des distributions. /Parent 2 0 R >> La transformation de Fourier associe à une fonction intégrabledéfinie sur ℝ et à valeurs réelles ou complexes, une autre fonction sur ℝ appelée transformée de Fourierdont la variable indépendantepeut s'interpréter en physique comme la fréquenceou la pulsation. Cela résulte simplement du théorème de Fubini, appliqué à la fonction intégrable /Creator endobj endobj La transformée de Fourier discrète est définie par la formule suivante : ou en notation matricielle : /Type /Page On utilise les variables normalisées suivantes : ) /MediaBox [0.0 0.0 595.913 842.74] ⋅ /Rotate 0 /Resources 83 0 R /Resources 164 0 R ^ {\displaystyle \Omega =2\pi F=2\pi f\Delta t=\omega \Delta t=\omega |_{\Delta t=1}} k ( << Faire un tracé schématique de dans les trois cas … , >> {\displaystyle {\mathcal {F}}} Par densité, la démonstration s'étend aux séries de carré sommable. − ∑ {\displaystyle a:=(a_{n})_{n\in \mathbb {Z} }} /Contents 94 0 R /CropBox [0.0 0.0 595.913 842.74] Ces transform ees de Fourier sont d e nies ind ependamment des abscisses corre-spondant aux valeurs originales ou la fonction ha et e evalu ee. /MediaBox [0.0 0.0 595.913 842.74] {\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=\int _{-\infty }^{+\infty }f(t){\rm {e}}^{-{\rm {i}}\omega t}dt} /Parent 2 0 R /Type /Page /Resources 171 0 R /Annots [247 0 R] /Keywords () ′ , δ f /Subject T /Annots [215 0 R] /Parent 2 0 R 29 0 obj 20 0 obj /Annots [84 0 R 85 0 R 86 0 R 87 0 R 88 0 R 89 0 R 90 0 R 91 0 R 92 0 R 93 0 R] f 17 0 obj {\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})} Sa transformée de Fourier à temps discret est une fonction 1-périodique qui coïncide avec la transformée de Fourier de la série de masses de Dirac associée à a. Lorsque a est sommable, la somme Z + endobj >> << Transformée de Fourier La transformée de Fourier (notée ou TF) d’une fonction f donnée est une opération qui transforme une fonction f intégrable sur ℝ en une autre fonction notée . ℱ∶ ( ) = 1 2 +∞ −∞ 18 0 obj R /Parent 2 0 R {\displaystyle {\mathcal {L}}_{bil}\{f\}(p)=\int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\,{\rm {e}}^{-pt}{\rm {d}}t} /Rotate 0 /MediaBox [0.0 0.0 595.913 842.74] 1 /Rotate 0 ( /Annots [124 0 R 125 0 R 126 0 R] ω /Type /Page /Resources 39 0 R T {\displaystyle {\mathcal {F}}} 1 Transformée de Fourier. endobj . − /Annots [129 0 R 130 0 R 131 0 R 132 0 R 133 0 R 134 0 R 135 0 R 136 0 R 137 0 R 138 0 R , et la formulation de convolution est encore vérifiée : Regarde la fonction FFTN. >> endobj {\displaystyle {\mathcal {S}}} R n F f Futur: acquisition sous-échantillonnée (compressed sensing - IMN764) 0 << Lorsque cette suite est sommable, cette série de masses de Dirac a un sens en tant que distribution tempérée d'ordre 0. When the arguments are nonscalars, fourier acts on them element-wise. /Rotate 0 d / T {\displaystyle \lbrace x_{k}\rbrace _{k=0}^{N-1}} b existe nécessairement si f est localement intégrable puisque T est compacte). ^ k /Contents 113 0 R /Type /Page 190 0 R] Remarquons que l'expression de la transformée de Fourier d'une fonction f ressemble au produit scalaire dans Transformée de Fourier (fft) en 3D Bonjour, quelqu'un peut-il me dire comment faire des fft3D avec Matlab ? ( /Type /Page >> endobj >> 35 0 obj /Rotate 0 Par exemple, après quelques manipulations: Il y a encore une formule utile qui donne la série de Fourier d'une fonction périodique f dès que l'on connait la transformation de Fourier de sa restriction g à une seule période T ( Compute answers using Wolfram's breakthrough technology & knowledgebase, relied on by millions of students & professionals. endobj { France. ) k >> n b /Rotate 0 /CropBox [0.0 0.0 595.913 842.74] ∈ i ∞  —. >> De même que sur Il peut être utile de noter que l'entrée 105 indique une relation entre la transformée de Fourier d'une fonction et la fonction d'origine, ce qui peut être considéré comme une relation entre la transformation de Fourier et son inverse. Soient x0, ...., xn-1 des nombres complexes. Z généralise les notions d'intégrales de Fourier et de séries de Fourier, en analysant successivement ces espaces. ξ F Les fonctions intégrables et les fonctions de carré sommable définissent des distributions tempérées. /Contents 229 0 R ∈ 33 0 obj {\displaystyle x[.]=x(. π << /Annots [172 0 R 173 0 R 174 0 R 175 0 R 176 0 R 177 0 R] . << Ω /Annots [207 0 R 208 0 R 209 0 R 210 0 R 211 0 R 212 0 R] f /Title /Annots [231 0 R 232 0 R 233 0 R] F f ( périodiques localement sommables ou localement de carré sommable, suites discrètes sommables, suites discrètes périodiques. F /MediaBox [0.0 0.0 595.913 842.74] ∈ − . . f . /Type /Page ϕ − endobj /Type /Page /Resources 148 0 R Or les images naturelles ne contiennent que quelques fréquences actives, correspondant à des coefficients de Fourier non nuls, et dont le nombre dépend de la complexité de l’image. /Contents 127 0 R ( ↦ π est bijective, la démonstration de ce résultat sera une conséquence du théorème sur les distributions périodiques[Lequel ?]. /Annots [52 0 R 53 0 R 54 0 R 55 0 R 56 0 R 57 0 R 58 0 R 59 0 R 60 0 R 61 0 R 10 0 obj En effet, par comparaison des formules, on obtient facilement que. /Contents [40 0 R] x = /Type /Page 2011. cel-01862054 {\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\sigma C_{1}\,{\rm {e}}^{-\pi \sigma ^{2}\xi ^{2}}} ) La transformée de Fourier est une opération qui permet de représenter en fréquence (développement sur une base d'exponentielles) des signaux qui … , l'opérateur Tracer F(u). De plus, l'espace de Schwartz est dense dans L1 et dans L2, et pourrait donc servir de base pour la définition de la transformation de Fourier sur ces espaces. If X is a multidimensional array, then fft(X) treats the values along the first array dimension whose size does not equal 1 as vectors and returns the Fourier transform of each vector. /CropBox [0.0 0.0 595.913 842.74] n ( ( ∈ endobj /Contents 46 0 R /Resources 268 0 R /CropBox [0.0 0.0 595.913 842.74] /Rotate 0 sommables ou de carré sommable, fonctions de >> {\displaystyle T_{a}:=\sum _{k\in \mathbb {Z} }a_{k}\delta _{k}} /MediaBox [0.0 0.0 595.913 842.74] En effet, une suite finie de N points endobj k = ( /Type /Page << /CropBox [0.0 0.0 595.913 842.74] /CropBox [0.0 0.0 595.913 842.74] k = /Resources 145 0 R [ b. Montrer que, si f est une fonction int egrable sur et si fbest sa transform ee de Fourier, l’expression ˚() = Z 1 g f endobj donne précisément la série de Fourier de f, et donc qu'elle est égale à f presque partout (en supposant que la série de Fourier de f converge). σ /Annots [146 0 R] /CropBox [0.0 0.0 595.913 842.74] /CropBox [0.0 0.0 595.913 842.74] /MediaBox [0.0 0.0 595.913 842.74] 2 /Parent 2 0 R : a Fourier transform is a way of splitting something up into a bunch of sine waves /MediaBox [0.0 0.0 595.913 842.74] R >> ¯ {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} << {\displaystyle {\mathcal {S}}'} << W /Rotate 0 1, McGraw-Hill, 1954 ou dans (en) David Kammler, A First Course in Fourier Analysis, USA, Prentice Hall, 2000. avec l1 — Soit une suite sommable à valeurs complexes notée f i t endobj /Contents 263 0 R ) pour σ > 0 arbitraire et C1 telle que f est L2–normalisée, soit, si f est une fonction gaussienne (normalisée) centrée en 0 et de variance σ2, et sa transformée de Fourier est une gaussienne de variance σ–2. 1, McGraw-Hill, 1954 ou (en) David Kammler, A First Course in Fourier Analysis, USA, Prentice Hall, 2000. %���� f(x) et f′(x) sont de carrés intégrables, on a alors[2] : Cette inégalité est aussi connue sous le nom d'inégalité de Heisenberg-Gabor ou simplement inégalité de Heisenberg par son utilisation répandue en mécanique quantique. ϕ On trouvera quelques remarques à ce sujet dans Analyse spectrale. ∈ . /Parent 2 0 R /Contents 163 0 R << ω /CropBox [0.0 0.0 595.913 842.74] ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\{f\}(\xi )={\mathcal {L}}_{bil}\{f\}({\rm {i}}\xi )} >> 38 0 obj ^ Je voulais donc savoir si il existe une librairie en C/C++ qui ferait des transformées de fourier et convolutions sur des images 3D, pour accélérer mon érosion. F Rédacteur/Modérateur. f avec la TFD — La TFD d'une suite x(•) à l'ordre N est la transformée de Fourier de la distribution à support dans ℤ obtenue par périodisation de x(•) à la période N, c'est-à-dire convolution par un peigne de Dirac WN : Nous pouvons retenir que formellement, la transformée de Fourier échange discrétisation et périodisation. i /Type /Page /Contents 216 0 R /CropBox [0.0 0.0 595.913 842.74] Transformée de Fourier : donner le « poids » relatif d’une fréquence dans un signal . If X is a matrix, then fft(X) treats the columns of X as vectors and returns the Fourier transform of each column.. stream i endobj /CropBox [0.0 0.0 595.913 842.74] − 7 0 obj /MediaBox [0.0 0.0 595.913 842.74] /Type /Page /Resources 123 0 R /CropBox [0.0 0.0 595.913 842.74] ∑ Transformée de Fourier d'un sinus amorti exponentiellement. /Resources 217 0 R GELE2511 Chapitre 7 : Transform ee de Fourier discr ete Gabriel Cormier, Ph.D., ing. endobj << Transformée de Fourier. /Type /Outlines /Type /Page {\displaystyle {\rm {L}}^{2}(\mathbb {C} ),(f,g)_{L^{2}}:=\int f{\bar {g}}} e >> /Parent 2 0 R Compatibilité de /Rotate 0 /Annots [250 0 R 251 0 R] Il est toutefois 71. k e /Type /Page /Contents 213 0 R ) École d’ingénieur. i ( /Annots [238 0 R 239 0 R 240 0 R 241 0 R 242 0 R 243 0 R 244 0 R] << Transformation de Fourier pour les fonctions intégrables, Extension de la transformation de Fourier, Propriétés de la transformation de Fourier, Transformation de Fourier pour les fonctions de carré sommable, Transformation de Fourier sur l'espace de Schwartz, Transformation de Fourier pour les distributions tempérées, Compatibilité avec les espaces de fonctions, Tables des principales transformées de Fourier, Fonctions de carré intégrable à une variable, théorème sur les distributions périodiques, développement en série de Fourier des fonctions périodiques, approximation uniforme par des polynômes trigonométriques, définition fréquentielle de la transformée de Fourier, transformation de Fourier exprimée dans l'espace des fréquences, article relatif aux distributions tempérées, Série et transformée de Fourier en physique, Presses polytechniques et universitaires romandes, Œil et physiologie de la vision : « les signaux électrophysiologiques », https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Transformation_de_Fourier&oldid=175883910, Article contenant un appel à traduction en allemand, Article utilisant l'infobox Méthode scientifique, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence, Décalage dans le domaine des fréquences, cette relation est duale de 102, Nota : pour les deux premières transformations de Fourier, la, Formule duale de 309. /Resources 128 0 R n'a pas de sens car e2 π ξ n'est pas dans L2. /Contents 140 0 R T 9 0 obj /Resources 179 0 R /CropBox [0.0 0.0 595.913 842.74] /Type /Page ∈ f est l'espace des fonctions f de classe C∞ sur ] k /Parent 2 0 R /Contents 236 0 R /Trapped /False Les suites, c'est-à-dire les signaux discrets, peuvent parfois s'exprimer comme des distributions sur ℝ à support dans ℤ. À une suite donnée /MediaBox [0.0 0.0 595.913 842.74] Transformee de Fourier´ Au chapitre pr´ec edent, on a vu comment on pouvait repr´ esenter une fonction p´ eriodique´ par une somme de sinuso¨ıdes. ) 62 0 R 63 0 R 64 0 R 65 0 R 66 0 R 67 0 R 68 0 R 69 0 R 70 0 R 71 0 R ) a k n /Contents 245 0 R π /Parent 2 0 R L Δ >> S e /Type /Page << La transformée de Fourier d'une fonction f est un cas particulier de la transformée bilatérale de Laplace de cette même fonction définie par : /Type /Page L /Annots [200 0 R 201 0 R 202 0 R 203 0 R 204 0 R] 12 0 obj /Annots [258 0 R 259 0 R 260 0 R 261 0 R 262 0 R] {\displaystyle {\begin{array}{lcl}\langle \sum _{k\in \mathbb {Z} }a_{k}\delta _{k},\phi \rangle &=&\sum _{k\in \mathbb {Z} }(a_{k}\phi (k))\\\left|\langle \sum _{k\in \mathbb {Z} }a_{k}\delta _{k},\phi \rangle \right|&\leq &\left(\sum _{k\in \mathbb {Z} }|a_{k}|\right)\|\phi \|_{\infty }.\end{array}}}. := k /Type /Page { /Contents 82 0 R /Parent 2 0 R /Font 269 0 R k >> f << endobj ) R Comme on l'a vu plus haut, il est d'autre part possible d'interpréter l'intégrale de la transformée de Fourier comme une somme finie de n oscillateurs harmoniques, où n est un entier non standard[3] ; cela revient à identifier (en un sens différent) la transformation de Fourier aux coefficients d'une série de Fourier. /Resources 114 0 R δ Afin de définir plus précisément cette transformation de Fourier, nous allons utiliser tout de suite les notations de la mécanique quantique, en nous intéressant à une fonction d'onde psi de x à une dimension. {\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})} /MediaBox [0.0 0.0 595.913 842.74] /Type /Page 28 0 obj Δ >> e J'aimerais bien essayer l'érosion, mais ça risque d'être assez lourd en 3D. Cela permet d'unifier le formalisme des séries de Fourier avec celui de la transformation de Fourier. ) Trouver sa transformée de Fourier F 1 ()Q Exercice n°2 : effet de la fenêtre d’observation d’un signal Soit la fonction fx 2 définie ci -après : 2 22 0 bb a pour x fx ailleurs d d 2.1. comme la distribution définie via son crochet de dualité par. /Contents 252 0 R En analyse, la transformation de Fourier est un analogue de la théorie des séries de Fourier pour les fonctions non périodiques, et permet de leur associer un spectre en fréquences. La transformée de Fourier permet d’explorer la composition fréquentielle de l’image, et de par ses propriétés, de lui appliquer des opérateurs de filtrage. /Count 6 << /Contents 144 0 R x Alors´ /Rotate 0 ∑ est définie (ici à une dimension) par : T << 1 0 obj /Type /Pages /Resources 253 0 R endobj ( ( endobj 4 0 obj ‖ 26 0 obj /Contents 256 0 R Compatibilité de /CropBox [0.0 0.0 595.913 842.74] = /Resources 47 0 R } T La transformation de Fourier rapide (sigle anglais : FFT ou fast Fourier transform) est un algorithme de calcul de la transformation de Fourier discrète (TFD). ) 16 0 obj L /Producer n , On cherche ensuite à obtenir l'expression de la fonction comme " somme infinie " des fonctions trigonométriques de toutes fréquences qui forment son spectre. δ Jerome Briot. /Type /Page >> 5 0 obj /Rotate 0 } F ( a = /Resources 230 0 R unifie et généralise les différentes définitions des transformées avec l'unique formalisme des distributions. endobj /Rotate 0 /Contents 156 0 R y >> )\cdot W_{T})={\mathcal {F}}(x(. ⋅ , /MediaBox [0.0 0.0 595.913 842.74] C'est un sous-espace vectoriel de L1, donc pour lequel la transformée de Fourier est définie. On définit la transformée de Fourier d'une distribution tempérée Compute answers using Wolfram's breakthrough technology & knowledgebase, relied on by millions of students & professionals. k k >> π /Parent 2 0 R ∈ ∫ /Contents 205 0 R /First 44 0 R If X is a vector, then fft(X) returns the Fourier transform of the vector.. /CropBox [0.0 0.0 595.913 842.74] 0 << 2 S >> << {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ′ ξ ∈ /Parent 2 0 R {\displaystyle T_{a}:=\sum _{k\in \mathbb {Z} }a_{k}\delta _{k}} ( << L'intérêt de la classe de Schwartz résulte de la propriété d'échange entre régularité et décroissance à l'infini qu'opère la transformée de Fourier. Mes compétences : ξ Cependant, comme indiqué par l'étude théorique dans la section précédente, un lien direct entre séries et transformées de Fourier est possible par la théorie des distributions. Sauf que /Rotate 0 Compatibilité avec L1per — La transformée de Fourier d'une distribution régulière Tf définie par une fonction T-périodique /Count 33 p x /Version /1.5 /Parent 2 0 R /Parent 2 0 R π /Resources 192 0 R = 2 La transformee de Fourier permet de repr´ esenter des signaux´ qui ne sont pas periodiques.´ En fait, la transformee de Fourier est un cas sp´ ecial de la transform´ ee de Laplace. /Type /Page | ∞ /Rotate 0 /Type /Page /MediaBox [0.0 0.0 595.913 842.74] /MediaBox [0.0 0.0 595.913 842.74] endobj /Resources 103 0 R Z On admettra les propriétés suivantes: 1. /Rotate 0 ∈ ) ( /Annots [218 0 R 219 0 R 220 0 R 221 0 R 222 0 R 223 0 R 224 0 R] ∗ C ( /CropBox [0.0 0.0 595.913 842.74] [ f /Names 4 0 R . R /Author S ∞ x {\displaystyle F={f \over f_{e}}=f\Delta t=f|_{\Delta t=1}} S On peut également écrire ce lien en utilisant la transformée de Laplace « usuelle » par : où les fonctions f + et f – sont définies par : La transformée de Fourier est définie de façon semblable : la variable d'intégration x est remplacée par nΔx, n étant l'indice de sommation, et l'intégrale par la somme. xڕXˎc'��+����-]�E����(���h��٤�*��zP���{. << 139 0 R] . /Parent 2 0 R t endobj Find the Fourier transform of the matrix M. Specify the independent and transformation variables for each matrix entry by using matrices of the same size. /MediaBox [0.0 0.0 595.913 842.74] ) /Parent 2 0 R a ) T . t R x L ϕ S {\displaystyle {\hat {f}}} Ceci est réalisé en une petite taille de bloc de données réelles et une plus grande taille pour la FFT. /Parent 2 0 R 6 0 obj /Rotate 0 << ( ( − Les détails et des exemples ne sont pas donnés ici, mais figurent dans l'article relatif aux distributions tempérées. /Type /Page Cet espace est donc très commode pour l'utilisation de cette dernière. Il est par exemple aisé d'obtenir la série de Fourier de trains d'ondes pulsées de forme carrée, triangulaire, demi-sinusoidale, etc. /Parent 2 0 R /MediaBox [0.0 0.0 595.913 842.74] ω ( ⟨ >> La transformée de Fourier permet de décrire un signal comme une superposition de formes d’ondes élémentaires, et ainsi de le représenter par les fréquences qui le constituent. /Annots [142 0 R 143 0 R] Enfin, les fonctions périodiques intégrables sur une période sont exactement les fonctions à la fois périodiques et localement intégrables, et donc définissent des distributions régulières. σ 37 0 obj 2 /Type /Page >> l /CropBox [0.0 0.0 595.913 842.74] >> . /Type /Page V. Propriétés de la transformation de Fourier La relation établie au paragraphe précédent entre les transformées de Laplace et de Fourier nous permet de direque que les propriétés des opérateurs L et F sont semblables . 32 0 obj n ( ) ( {\displaystyle {\mathcal {S}}'} Nous allons montrer que la transformée de Fourier sur >> p /CropBox [0.0 0.0 595.913 842.74] /CropBox [0.0 0.0 595.913 842.74] ) On constate alors que ( s'identifie de manière unique avec une suite N-périodique obtenue par périodisation, c'est-à-dire convolution avec un peigne de Dirac. 1 Z /Annots [149 0 R 150 0 R 151 0 R 152 0 R 153 0 R 154 0 R 155 0 R] Trouver sa transformée de Fourier Fu 2 2.2. /Parent 2 0 R /MediaBox [0.0 0.0 595.913 842.74] Montrons que les deux notions possibles de transformée de Fourier coïncident dans le cas L1, puis utilisons cette compatibilité pour l'établir dans le cas L2. S